Activités mathématiques en classe de terminale technologique - 29. STI2D_STL - Primitive, aire et volume

La plupart des stations de ski construisent des retenues d'eau en altitude afin d'alimenter les canons à neige placés le long des pistes réalisant ainsi un enneigement artificiel. La surface qu'il est possible de recouvrir en neige artificielle dépend du volume d'eau stockée dans la retenue. Il faut environ un volume de 4 000 m3 d'eau pour couvrir de neige et rendre skiable une surface d'un hectare.

Une station a décidé de réaliser un bassin d'une profondeur telle que le volume d'eau contenu présente une hauteur h maximale de 8 m. L'objectif est de déterminer si la quantité d'eau liquide retenue dans le bassin lorsque celui-ci est rempli permet de couvrir de neige une surface de 14 hectares.

Au niveau du sol, le tour du bassin peut être modélisé par la courbe fermée représentée sur la figure 1 (une unité correspond à 15 ml. Il présente deux axes de symétrie : l'axe des abscisses et la droite d'équation = 4. Il est obtenu par symétrie de la courbe Cf tracée en pointillés, représentative de la fonction f définie pour tout réel sur l'intervalle [0; 4] par :
f(x) = - (x 2 - 3,8 x + 1,8) e -x + 1,8. Sur l'intervalle [0; 4], on admet que la fonction f est positive.

1. a. Montrer que la fonction f admet comme primitive sur IR la fonction F définie pour tout réel x par : F(x) = (x 2 - 1,8 x) e -x + 1,8 x.
b. En exploitant la symétrie du bassin, calculer la surface S du bassin au niveau du sol exprimée en m2. Arrondir au m2 près.

2. On admet que le volume d'eau dans le bassin dépend de la surface S du bassin au niveau du sol précédemment calculée et de la hauteur d'eau h qui y est contenue.
Plus précisément, pour une hauteur d'eau h, le volume V, mesuré en m3 est donné par la relation suivante : V(h) = ((24+h)3/3072 – 9/2) S. Indiquer si l'eau contenue dans le bassin complètement rempli permet de recouvrir une surface d'un domaine skiable de 14 hectares en neige artificielle.

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